2. 研究手法
2.1 対象問題（第1報と共通）
底面加熱された鍋断面内の水の自然対流を、定常Boussinesq近似のもとで解く。2ネットワーク分離設計：HeatNet $\rightarrow \theta$（温度）、FluidNet $\rightarrow (u, v, p)$（速度・圧力）。Picard反復（5回）による段階的学習。
支配方程式（Ra$\cdot$Prで正規化済み、knowhow 27）:
$$\frac{1}{Ra \cdot Pr} \left[ u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial x} \right] - \frac{1}{Ra} \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right] = 0 \quad \text{(x-momentum)}$$
$$\frac{1}{Ra \cdot Pr} \left[ u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial y} \right] - \frac{1}{Ra} \left[ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right] - \theta = 0 \quad \text{(y-momentum)}$$
$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \quad \text{(continuity)}$$
$$u \frac{\partial \theta}{\partial x} + v \frac{\partial \theta}{\partial y} - \left[ \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \theta}{\partial y^2} \right] = 0 \quad \text{(energy)}$$
物理パラメータ: $Ra = 10^4$, $Pr = 3.67$, $Bi_{side} = 1.56$, $Bi_{top} = 2.34$, $AR = 2.0$
2.2 分析対象のPDE項
各方程式を個別の項に分解し、計10項を解析対象とした：
| 方程式 | 項名 | 数式（正規化済み） | 依存ネットワーク |
|---|---|---|---|
| x-momentum | Convection (x) | $\frac{1}{Ra \cdot Pr}(u \cdot u_x + v \cdot u_y)$ | FluidNet |
| x-momentum | Pressure (x) | $\frac{1}{Ra \cdot Pr} p_x$ | FluidNet |
| x-momentum | Viscous (x) | $-\frac{1}{Ra}(u_{xx} + u_{yy})$ | FluidNet |
| y-momentum | Convection (y) | $\frac{1}{Ra \cdot Pr}(u \cdot v_x + v \cdot v_y)$ | FluidNet |
| y-momentum | Pressure (y) | $\frac{1}{Ra \cdot Pr} p_y$ | FluidNet |
| y-momentum | Viscous (y) | $-\frac{1}{Ra}(v_{xx} + v_{yy})$ | FluidNet |
| y-momentum | Buoyancy | $-\theta$ | HeatNet |
| Continuity | Continuity | $u_x + v_y$ | FluidNet |
| Energy | Advection (T) | $u \cdot \theta_x + v \cdot \theta_y$ | 両方 |
| Energy | Diffusion (T) | $-(\theta_{xx} + \theta_{yy})$ | HeatNet |
2.3 手法A: 層別勾配感度解析
各PDE項の二乗平均を擬似的な損失関数として、逆伝播によりネットワークの各層パラメータに対する勾配のL2ノルムを計算する。
$$\text{Sensitivity}(t, l) = \left| \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\theta}l} \frac{1}{N} \sum_i)]^2 \right|_2$$}^{N} [\text{Term}_t(\mathbf{x
ここで $t$ はPDE項のインデックス、$l$ は層のインデックス、$\boldsymbol{\theta}_l$ は層 $l$ のパラメータ（重み + バイアス）。
意味: 「この項の値を変化させるには、どの層のパラメータを動かす必要があるか」を直接測定する。勾配ノルムが大きい層ほど、その項の計算に深く関与している。
行正規化（row-normalization）により、項間のスケール差を排除した相対分布も算出した。
2.4 手法B: PDE項の線形プロービング
各隠れ層のTanh活性化ベクトル $\mathbf{h}_l \in \mathbb{R}^{64}$ から、各PDE項の空間分布を線形回帰で予測し、テスト集合上のR²スコアを計算する。
$$\hat{y}t = \mathbf{h}_l \cdot \mathbf{w} + b, \quad R^2 = 1 - \frac{\sum_i (y} - \hat{y{t,i})^2}{\sum_i (y$$} - \bar{y}_t)^2
4,000点をドメイン全体からランダムサンプリングし、50/50のtrain/test分割で評価した。
意味: 「この層の活性化パターンは、このPDE項の空間パターンをどの程度符号化しているか」を測定する。手法Aが逆伝播ベース（計算依存性）であるのに対し、手法Bは順伝播ベース（情報符号化）であり、相補的な視点を提供する。
クロスネットワーク分析: 手法Bの特徴として、FluidNetの層からbuoyancy（HeatNetの出力）を予測する等、異なるネットワーク間の暗黙的情報伝達を検出できる。手法Aでは計算グラフの制約から、buoyancyに対するFluidNet層の勾配は常にゼロとなるため、この分析は手法Bでのみ可能である。
2.5 時間発展解析
学習過程での変化を追跡するため、5つの代表的チェックポイントで手法A・Bを実行した：
| チェックポイント | フェーズ | 意味 |
|---|---|---|
| P1: Heat Only | Phase 1 終了 | 熱拡散のみ学習済み |
| Pic1-P2: Fluid | Picard 1, Phase 2 終了 | 初回の流体学習 |
| Pic1-P3: Coupled | Picard 1, Phase 3 終了 | 初回の結合学習 |
| Pic3-P3: Coupled | Picard 3, Phase 3 終了 | 収束途上 |
| Pic5-P3: Final | Picard 5, Phase 3 終了 | 最終モデル |
2.6 実験環境
- フレームワーク: PyTorch (CUDA)
- 評価点数: 勾配感度 2,000点、線形プロービング 4,000点（train/test各2,000点）
- ネットワーク構造: 6隠れ層 $\times$ 64ノード（各ネットワーク約21Kパラメータ）
- 解析対象: HeatNet 7層（L1-L6 + Output）、FluidNet 7層（L1-L6 + Output）